Kursplan - Flervariabelkalkyl

Syfte

Syftet med kursen är att vidga funktions­begreppet till att omfatta reellvärda funktioner av flera reella variabler och tillämpningar därav, att introducera begreppet vektorfält, att generalisera integralbegreppet till att inbegripa summeringar på rymdkurvor, ytstycken, och kroppar i det tredimensionella rummet, samt att ge en grund för fortsatta studier i matematik och dess tillämpningar inom naturvetenskap, teknik och ekonomi.
 

Lärandemål

Efter genomgången kurs förväntas en student kunna

- analysera reellvärda funktioner av flera reella variabler, allt utifrån begreppen definitionsmängd, värdemängd, graf och sammansättning, samt kunna illustrera någorlunda skisserbara funktionsytor och nivåkurvor
- förklara de topologiska grundbegreppen i Rn, samt utifrån standardgränsvärden och räkneregler kunna bestämma gränsvärden för funktioner. Speciellt ska en funktions kontinuitet kunna avgöras
- bestämma partiella derivator, kunna avgöra differentierbarhet, kunna bestämma differentialer, samt vid variabelbyten kunna tillämpa kedjeregeln för första och andra ordningens derivator och vid implicit derivering
- bestämma och geometriskt tolka gradienter och riktningsderivator, samt utifrån detta i förekommande fall kunna bestämma tangenter och tangentplan
- tillämpa Taylors formel för att avgöra arter hos stationära punkter, och då särskilt i fall med funktioner av två variabler
- kunna bestämma största och minsta värdena för kontinuerliga funktioner på kompakta mängder, samt kunna formulera och lösa optimeringsproblem som innefattar bivillkor
- analysera vektorvärda funktioner av en reell variabel och motsvarande rymdkurvor, dels utifrån kinematiska begrepp som läge, hastighet och acceleration, och dels utifrån geometriska begrepp som tangent, normal, båglängd och krökning. Speciellt ska rymdkurvor kunna parametriseras
- bestämma dubbel- och trippelintegraler utifrån lämpliga iterationer och variabelsubstitutioner
- bestämma och tolka kurv- och ytintegraler. Speciellt ska normalriktningsfält för kurvor i planet och för ytstycken i rummet kunna bestämmas. I fall med konservativa fält ska potentialfunktioner kunna bestämmas och nyttjas för exempelvis byten av vägar i kurvintegraler
- tillämpa Greens, Stokes’ och Gauss’ satser

Innehåll

- Topologiska grundbegrepp i Rn öppen mängd, rand till en mängd, sluten mängd, begränsad mängd, kompakt mängd
- Reellvärda funktioner av flera reella variabler: definitionsmängd, värdemängd, gränsvärde, kontinuitet, partiell deriverbarhet, differentierbarhet, differentialer, kedjeregeln, gradienter, riktningsderivator
- Optimering: stationära punkter, lokala extremvärden, globala extremvärden, optimering med bivillkor, Lagranges multiplikatormetod
- Vektorvärda funktioner: partikelrörelse i rummet, parametrisering av kurvor, båglängd, krökning, krökningsradie, krökningscentrum
- Multipelintegraler: dubbelintegraler, trippelintegraler, iterationer, variabelsubstitutioner (särskilt till cylindriska och rymdpolära koordinater), generaliserade multipelintegraler
- Tillämpningar av multipelintegraler: areor av ytstycken, volymer av kroppar
- Vektoranalys: gradient, divergens, rotation, kurvintegraler, konservativa fält, Greens formel, ytintegraler, flödesintegraler, Stokes’ sats, Gauss’ sats

Undervisning

Undervisning sker i form av föreläsningar och/eller lektioner.
 

Särskild behörighet

Envariabelkalkyl, 7,5 hp, varav 5 hp ska vara avklarade senast vid kursstart samt endera Vektoralgebra 7,5 hp, varav 3,5 hp ska vara avklarade senast vid kursstart eller Vektoralgebra grundkurs, 7,5 hp, varav 5 hp ska vara avklarade innan kursstart eller motsvarande.

Examination

Inlämningsuppgifter (INL1), 1,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G)
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN1), 2,5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN2), 3,5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Med beröm godkänd, icke utan beröm godkänd, godkänd, underkänd