Kursplan - Linjär algebra

Syfte

Syftet med kursen är att ge en grundläggande förståelse av ändligtdimensionella linjära rum över reella tal och linjära avbildningar mellan sådana rum. Kursen syftar även till att ge en grund för fortsatta studier i matematik och dess tillämpningar inom naturvetenskap och teknik.

Lärandemål

Efter avklarad kurs ska studenten kunna
1. definiera vad som menas med ett linjärt rum över reella tal, kunna ge exempel på sådana rum, och kunna avgöra om en given mängd med givna operationer utgör ett linjärt rum eller ej.
2. för en ändlig mängd av vektorer avgöra vilka delmängder som är linjärt oberoende, och därvidlag kunna bestämma dimensionen av ett ändligt linjärt hölje.
3. bestämma baser i ändligtdimensionella vektorrum, och kunna bestämma sambandet mellan en vektors koordinater i två olika baser.
4. definiera vad som menas med en linjär avbildning och i en given bas kunna bestämma dess matris, samt kunna förklara de geometriska innebörderna av de allmänna egenskaperna hos linjära avbildningar. Speciellt ska en avbildnings nollrum och värderum kunna bestämmas.
5. bestämma sambandet mellan en linjär operators avbildningsmatriser givna i två olika baser.
6. konstruera ortonormala baser i euklidiska rum, och kunna projicera vektorer ortogonalt på underrum till euklidiska rum.
7. förklara och tillämpa begreppen egenvärde och egenvektor till en linjär operator. Speciellt förväntas en student kunna bestämma egenrummet till ett egenvärde, och om möjligt kunna diagonalisera en linjär operator.
8. tillämpa spektralsatsen på symmetriska linjära operatorer.
9. diagonalisera och klassificera kvadratiska former på ändligtdimensionella vektorrum, samt i planet och i rummet geometriskt kunna tolka ekvationer för andragradskurvor respektive andragradsytor.

Innehåll

- Linjärt rum: definition av ett linjärt rum över reella tal, underrum, linjärt hölje, linjärt oberoende, dimension, bas, koordinater, basbyte, isomorfi.
- Linjär avbildning: definition av linjär avbildning, linjär operator, matrisrepresentation, sammansatt avbildning, invers avbildning, nollrum, värderum.
- Euklidiskt rum: Euklidisk inre produkt, Euklidiskt rum, ortogonalitet, ortogonalt komplement, ON-bas, ortogonal projektion, Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod, ortogonal matris, isometrisk avbildning.
- Spektralteori: egenvärde, egenvektor, sekularpolynom, egenrum, diagonaliserbarhet, symmetrisk linjär avbildning, spektralsatsen.
- Kvadratiska former: definition av kvadratisk form, diagonalisering av kvadratisk form, tröghetslagen, rang, signatur, positivt definit, negativt definit, semidefinit, indefinit, andragradskurvor, andragradsytor.

Undervisning

Undervisning sker i form av föreläsningar och lektioner.

Särskild behörighet

Vektoralgebra, grundkurs, 7,5 hp, varav 2,5 hp ska vara avklarade innan kursstart, eller motsvarande.

Examination

INL1, Inlämningsuppgifter, 2,5 hp,
Inlämningsuppgifter avseende lärandemål 1-9, betyg Underkänd (U), Godkänd (G).
TEN1, Tentamen, 5 hp, Skriftlig och/eller muntlig tentamen avseende lärandemål 1-9, betyg Underkänd (U), 3, 4 eller 5.
 

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Med beröm godkänd, icke utan beröm godkänd, godkänd, underkänd