Kursplan - Introduktion till reell och komplex analys

Syfte

Avsikten med kursen är att ge studenten grundläggande kunskaper, verktyg och metoder inom ämnet reell och komplex analys i en variabel. Den syftar även till att ge en djupare teoretisk förståelse för matematik, men även hur teorin kan tillämpas inom naturvetenskap och teknik.

Lärandemål

Efter avklarad kurs ska studenten kunna

- definiera och tillämpa topologiska begrepp så som öppen, sluten, begränsad respektive kompakt mängd samt randen till ett område

- använda gränsvärdesdefinitionen för enklare beräkningar av gränsvärden, kunna kontrollera om en funktion är kontinuerlig i en punkt, samt ha begreppsförståelse för kontinuerliga kurvor och enkelt sammanhängande områden

- tillämpa olika representationsformer av komplexa tal, samt kunna använda räknesätten och triangelolikheten för reella och komplexa ta

- lösa grundläggande ekvationer i en komplex variabel

- avbilda områden med hjälp av Möbiustransformationen

- beräkna kurvintegraler av elementära komplexvärda funktioner samt kunna avgöra om integralen är vägberoende

- avgöra om en funktion är komplext deriverbar, samt att kunna avgöra om en funktion satisfierar Cauchy-Riemanns ekvationer, dvs kunna avgöra om det är en analytisk funktion

- potensserieutveckla en analytisk funktion, kunna tolka Laurentserier, och kunna utföra beräkningar med residykalkyl, även tillämpad på reella integraler

Innehåll

- Mängdtopologi: inre punkter, öppen mängd, sluten mängd, begränsad mängd, kompakt mängd, område, sammanhängande område, enkelt sammanhängande område, områdesrand

- Gränsvärden: formell definition, kontinuitet, kontinuerliga kurvor

- Komplexa tal: realdel, imaginärdel, polär form, normalform. Absolutbelopp, triangelolikheten samt de Moivres formel

- Ekvationslösning: andragradsfunktioner och potensekvationer

- Möbiusavbildningen: Möbiustransformationer

- Deriverbarhet: komplex deriverbar funktion, Cauchy-Riemanns ekvationer

- Elementära funktioner: potensfunktioner, polynom, rationella funktioner, exponentialfunktionen samt trigonometriska funktioner

- Kurvintegraler: integration av komplexvärda funktioner på parameterform, kurvintegraler, primitiv funktion

- Potensserier och Laurentserier: nollställe av ordning n, isolerade singulariteter, hävbar singularitet, pol av ordning n, väsentlig singularitet, generaliserade reella integraler

- Satser som presenteras är bland annat: Heine-Borels övertäckningssats, sats om ekvivalens av deriverbarhet, analytisk funktion och Cauchy-Riemanns ekvationer, sats om kurvintegralens beroende av vägval, identitetssats för analytiska funktioner, Cauchys integralsats, Cauchys integralformel, sats om isolerade nollställen för analytiska funktioner, sats om analytiska funktioner definierade i en cirkelring, residysatsen

Undervisning

Undervisning sker i form av föreläsningar och lektioner.

Särskild behörighet

Minst sammanlagt 60 hp i teknik, naturvetenskap, företagsekonomi eller nationalekonomi inklusive Vektoralgebra, grundkurs, 7,5 hp, Envariabelkalkyl, 7,5 hp, varav 6 hp ska vara avklarade innan kursstart, samt Flervariabelkalkyl, 7,5 hp, varav 2,5 hp ska vara avklarade innan kursstart, eller motsvarande.

Examination

Inlämningsuppgifter (INL1), 2,5 högskolepoäng, betyg Underkänd (U), Godkänd (G)
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN1), 5 högskolepoäng, betyg Underkänd (U), 3, 4 eller 5

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Med beröm godkänd, icke utan beröm godkänd, godkänd, underkänd