Kursplan - Differentialekvationer, grundkurs

Syfte

Avsikten med kursen är att introducera de grundläggande kvalitativa och kvantitativa metoder som används för att analysera och lösa ordinära differentialekvationer samt tillämpningar därav.
 

Lärandemål

Efter avklarad kurs ska studenten kunna

- analysera och lösa ordinära differentialekvationer (ODE) av första ordningen innefattande begrepp och metoder som existens, entydighet, fasporträtt, separerbarhet, linjaritet, exakthet och substitution

- analysera och lösa linjära ODE innefattande begrepp och metoder som homogen lösning, partikulärlösning, reduktion av ordning, och potensserielösning kring en ordinär punkt

- analysera och lösa olinjära men reducerbara ODE av ordning 2

- tillämpa Laplacetransformen för att lösa begynnelsevärdesproblem (BVP) innehållande linjära differential- och integralekvationer

- lösa plana system av första ordningens ODE med konstanta koefficienter, samt kunna analysera deras stabiliteter och kunna skissa deras fasporträtt

- analysera olinjära ODE av ordning 2 och plana autonoma system av första ordningens olinjära ODE, allt med avseende på stabilitet i omgivningar till stationära punkter, samt i möjliga fall kunna linjarisera systemen ifråga

- med autonoma system av ODE beskriva dynamiska makroskopiska förlopp under antaganden om att förekommande numerära storheter är definierade på intervall och att underliggande mikroskopiska förlopp är momentana

Innehåll

- Allmänt om differentialekvationer (DE): ordning, existens av lösning, partikulärlösning, allmän lösning, entydig lösning, begynnelsevärdesproblem (BVP)

- ODE av första ordningen: fasporträtt, ortogonala banor, separerbarhet, linjaritet, exakthet, substitutionstekniker (för homogena DE, för Bernoullis DE, för DE med potenser av ax+by+c), introducerande tillämpningsexempel

- Linjära ODE: BVP, existens av en entydig lösning, linjärt oberoende lösningar, Wronskianen, homogen lösning, reduktion av ordning, partikulärlösning, variation av parametrar, allmän lösning, potensserielösning kring en ordinär punkt

- Några speciella ODE av ordning ≥ 2: Eulerekvationer, olinjära men i ordning reducerbara ODE

- Laplacetransformen: existens, standardtransformer, inversa transformer, transformer av derivator, translationer, Heavisides stegfunktion, derivator av transformer, transformer av integraler och då speciellt av faltningar, Diracs deltadistribution, lösningar till differential- och integralekvationer

- Plana system av första ordningens linjära ODE: BVP, existens av en entydig lösning, linjärt oberoende lösningar, Wronskianen, fundamentalmatris, homogen lösning, partikulärlösning, allmän lösning, fasporträtt

- Plana autonoma system av första ordningens olinjära ODE och olinjära ODE av ordning 2: Stabilitet hos linjära system, lokal stabilitet hos olinjära system, analys vid jämviktspunkter, linjarisering, långtidsbeteende

Undervisning

Undervisning sker i form av föreläsningar och lektioner.

Särskild behörighet

Envariabelkalkyl 7,5 hp och Vektoralgebra 7,5 hp eller motsvarande.

Examination

Inlämningsuppgifter (INL1), 2,5 högskolepoäng, betyg Underkänd (U), Godkänd (G)
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN1), 5 högskolepoäng, betyg Underkänd (U), 3, 4 eller 5

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Med beröm godkänd, icke utan beröm godkänd, godkänd, underkänd