Kursplan - Kalkyl, fortsättningskurs

Syfte

Syftet med kursen är att tillämpa funktionsbegreppet ytterligare relativt vad som presenterades i grundkursen, att vidga funktionsbegreppet till reellvärda funktioner av flera reella variabler och tillämpningar därav, att generalisera integralbegreppet till att inbegripa summeringar på kurvor och områden i planet och kroppar i det tredimensionella rummet, samt att ge en grund för fortsatta studier i matematik och dess tillämpningar inom naturvetenskap, teknik och ekonomi.
 

Lärandemål

Efter genomgången kurs förväntas en student kunna

- tillämpa integralbegreppet för beräkning av kurvlängder och areor av rotationsytor
- lösa första ordningens separabla och/eller linjära, ordinära differentialekvationer (ODE) , samt andra ordningens linjära ODE med konstanta koefficienter
- avgöra elementära talföljders konvergens, kunna beräkna summan av en geometrisk serie, samt kunna ange och tillämpa Maclaurinutvecklingarna av de elementära funktionerna och uppskatta deras resttermer
- på både parameterform (särskilt polär) och parameterfri form ställa upp och geometriskt beskriva ekvationer för kurvor i planet, samt kunna bestämma hastighet, fart, och acceleration för en partikel som rör sig längs en kurva, och kunna bestämma båglängden för kurvan
- analysera reellvärda funktioner av flera reella variabler, allt utifrån begreppen definitionsmängd, värdemängd, graf och sammansättning, samt kunna illustrera någorlunda skisserbara funktionsytor och nivåkurvor
- förklara de topologiska grundbegreppen i Rn, samt utifrån standardgränsvärden och räkneregler kunna bestämma gränsvärden för funktioner. Speciellt ska en funktions kontinuitet kunna avgöras
- bestämma partiella derivator, kunna redogöra för differentierbarhet, kunna bestämma differentialer, samt vid variabelbyten kunna tillämpa kedjeregeln för första ordningens derivator
- bestämma och geometriskt tolka gradienter och riktningsderivator, samt utifrån detta kunna bestämma tangentrum
- tillämpa Taylors formel för att avgöra arter hos stationära punkter, och då särskilt i fall med funktioner av två variabler
- kunna bestämma största och minsta värdena för kontinuerliga funktioner på kompakta mängder, samt kunna formulera och lösa optimeringsproblem som innefattar parametriserbara bivillkor
- bestämma dubbel- och trippelintegraler utifrån lämpliga iterationer och variabelsubstitutioner
- bestämma kurvintegraler i planet

Innehåll

- Tillämpningar av integralbegreppet: kurvlängder och areor av rotationsytor
- Ordinära differentialekvationer: separabla differentialekvationer, homogena och icke-homogena linjära differentialekvationer av första ordningen, andra ordningens linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter
- Taylors formel: Taylors formel, Taylorpolynom, Lagranges restterm, Maclaurinutvecklingar för standardfunktioner
- Parametriserade kurvor: parametrisering av kurvor i planet, båglängd, polära koordinater
- Topologiska grundbegrepp i Rn: öppen mängd, rand till en mängd, sluten mängd, begränsad mängd, kompakt mängd
- Reellvärda funktioner av flera reella variabler: definitionsmängd, värdemängd, gränsvärde, kontinuitet, partiell deriverbarhet, differentierbarhet, differentialer, kedjeregeln, gradienter, riktningsderivator
- Optimering: stationära punkter, lokala extremvärden, globala extremvärden, optimering med parametriserbara bivillkor.
- Multipelintegraler: dubbelintegraler, trippelintegraler, iterationer, variabelsubstitutioner (särskilt till cylindriska och rymdpolära koordinater), generaliserade multipelintegraler
- Tillämpningar av multipelintegraler: areor av ytstycken, volymer av kroppar
- Vektoranalys: gradient, kurvintegraler, vägoberoende kurvintegraler
 

Undervisning

Undervisning sker i form av föreläsningar och/eller lektioner

Särskild behörighet

Kalkyl, grundkurs, 7,5 hp varav 3,5 hp ska vara avklarade innan kursstart och Vektoralgebra, grundkurs, 7,5 hp varav 2,5 hp ska vara avklarade innan kursstart eller motsvarande.

Examination

Inlämningsuppgifter (INL1), 1,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G)
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN1), 2,5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN2), 3,5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5
 

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Med beröm godkänd, icke utan beröm godkänd, godkänd, underkänd