Kursplan - Analysens grunder

Syfte

Syftet med kursen är att komplettera och fördjupa de kunskaper och färdigheter i matematisk analys som studenten utvecklat i elementära kurser i ämnet, och att förbereda för högre studier i matematik, fysik och teknik.

Lärandemål

Efter avklarad kurs ska studenten kunna

1. förklara de grundbegrepp som används för att topologisk beskriva metriska rum.
2. avgöra om följder i metriska rum är konvergenta eller ej.
3. tillämpa kontinuitetsbegreppet för avbildningar mellan metriska rum.
4. tillämpa deriverbarhetsbegreppet för reellvärda funktioner. Särskild vikt läggs vid Taylors sats och specialfall därav.
5. avgöra för vilka funktioner Riemann-Stieltjes integral existerar.
6. avgöra om funktionsföljder och funktionsserier är likformigt konvergenta eller ej, och kunna tillämpa detta med avseende på kontinuitet, deriverbarhet och integrerbarhet.
7. med de precisa definitioner av grundläggande begrepp som förekommer inom matematisk analys, på ett logiskt korrekt sätt genomföra och förklara resonemang och bevis.

Innehåll

Reella tal. Konvergensbegreppet i metriska rum. Epsilon-delta-definitionen av gränsvärde och bevis av gränsvärdessatser. Grundläggande topologi: Uppräkningsbara, icke uppräkningsbara, kompakta, perfekta, och sammanhängande mängder.  Talföljder och serier: Konvergens, delföljder, Cauchyföljder, övre och undre gränsvärden, serietester, potensserier, absolut konvergens, betingad konvergens, omordningar. Kontinuitet, likformig kontinuitet, kontinuitet och kompakthet, kontinuitet och sammanhängighet, diskontinuiteter, monotona funktioner. Derivatan av en funktion, medelvärdessatsen, Taylors sats. Riemann-Stieltjesintegralen, Integralkalkylens huvudsats. Funktionsföljder och funktionsserier. Likformig konvergens.

Undervisning

Föreläsningar och lektioner.

Särskild behörighet

Flervariabelkalkyl 7.5hp eller motsvarande. Dessutom krävs Svenska B/Svenska 3 och Engelska A/Engelska 6. I de fall kursen ges på engelska görs undantag från kravet på Svenska B/Svenska 3.

Examination

Inlämningsuppgift (INL1), 2,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G)
Skriftlig tentamen (TEN1), 5 högskolepoäng, betyg 3, 4, 5

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Ges något av betygen 5, 4, 3