Kursplan - Envariabelkalkyl

Syfte

Kursen syftar till att ge studenten möjlighet att tillägna sig grundläggande kunskaper om reellvärda funktioner av en reell variabel och tillämpningar därav, samt att ge studenten en grund för fortsatta studier i matematik och i dess tillämpningar inom naturvetenskap, teknik och ekonomi.

Lärandemål

Efter avklarad kurs ska studenten kunna
1. analysera reellvärda funktioner av en reell variabel utifrån begreppen definitionsmängd, värdemängd, graf, sammansättning och invers
2. förklara begreppet konvergens hos talföljder och serier, samt utifrån standardgränsvärden och räkneregler kunna bestämma gränsvärden för funktioner och talföljder. Speciellt ska en funktions kontinuitet kunna avgöras och tillämpas
3. bestämma en funktions derivata utifrån derivatans definition, samt i en given punkt kunna bestämma tangenten till en graf. För deriverbara funktioner läggs särskilt vikt vid en deriveringsteknik baserad på räkneregler och standardderivator, där räknereglerna förväntas kunna visas
4. visa medelvärdessatsen, samt kunna tillämpa den och innehållet i punkterna 1-3 på problem som innefattar skattningar och feluppskattningar av funktionsvärden, bestämning av extremvärden, optimering, kurvskissning
5. redogöra för någon av de ekvivalenta definitionerna av Riemannintegralen samt kunna bevisa och tillämpa integralkalkylens huvudsats
6. tillämpa tekniker som partiell integration, partialbråksuppdelning där nämnarnas nollställen har multiplicitet ett, och variabelsubstitution, allt för att kunna bestämma primitiva funktioner och integraler
7. avgöra konvergens hos generaliserade integraler och kunna bestämma de som är konvergenta
8. tillämpa integralbegreppet för beräkning av areor mellan kurvor samt volymer med kända snittareor
9. lösa första ordningens separabla och/eller linjära, ordinära differentialekvationer (ODE), samt andra ordningens linjära ODE med konstanta koefficienter
10. tillämpa Taylors formel för att approximera funktioner

Innehåll

- Funktioner: definitionsmängd, värdemängd, graf, sammansättning, inverterbarhet, standardfunktion, elementär funktion
- Talföljder och serier: talföljd, serie, geometrisk serie som exempel på konvergent serie
- Gränsvärden: definition av gränsvärde, räkneregler, standardgränsvärden, kontinuitet, satsen om mellanliggande värden
- Derivator: definition, standardderivata, räkneregler, implicit derivering
- Medelvärdessatsen: skattning av funktionsvärde, feluppskattning, klassificering av stationära punkter, singulära punkter och ändpunkter, extremvärde, optimering, kurvskissning
- Integraler: Riemannsummor, definitionen av Riemannintegralen, integralkalkylens medelvärdessats, primitiv funktion, integralkalkylens huvudsats, generaliserad integral
- Integrationsteknik: räkneregler, partiell integration, partialbråks-uppdelning, variabelsubstitution
- Tillämpningar av integralbegreppet: area mellan kurvor samt volym av kropp med känd snittarea
- Ordinära differentialekvationer: separabla differentialekvationer, homogena och icke-homogena linjära differentialekvationer av första ordningen, andra ordningens linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter
- Taylors formel: Taylors formel, Taylorpolynom, Lagranges restterm, Maclaurinutvecklingar för standardfunktioner, konvergensintervall
- Tillämpningar av Taylors formel: approximation av funktion

Undervisning

Föreläsningar och lektioner.

Behörighet

Matematik D (områdesbehörighet 9 med förändring) eller Matematik 4 (områdesbehörighet A9 med förändring).

Examination

INL1, inlämningsuppgifter, 1,5 hp, skriftliga inlämningsuppgifter avseende lärandemål 1-10, betyg Underkänd (U), Godkänd (G).
TEN1, tentamen, 2,5 hp, skriftlig och/eller muntlig tentamen avseende lärandemål 1-10, betyg U, 3, 4 eller 5.
TEN2, tentamen, 3,5 hp, skriftlig och/eller muntlig tentamen avseende lärandemål 1-10, betyg U, 3, 4 eller 5.

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Med beröm godkänd, icke utan beröm godkänd, godkänd, underkänd