Kursplan - Vektoralgebra

Syfte

Syftet med kursen är att introducera den grundläggande teorin för linjära ekvationssystem, vektoralgebra och matriser, och visa hur denna kan användas som ett analysverktyg i tillämpningar. Syftet är även att ge en grund för fortsatta studier i ämnet matematik och tillämpningar därav inom naturvetenskap, teknik och ekonomi.
 

Lärandemål

Efter genomgången kurs förväntas en student kunna
- genom Gausselimination finna lösningsmängderna till linjära ekvationssystem
- tillämpa och grafiskt illustrera räknelagarna för vektorer i planet, rummet och Rn, samt utifrån begreppen linjärt beroende/oberoende, bas, koordinater och basbyten kunna analysera och jämföra vektorer med varandra
- på både parameterform och parameterfri form formulera, och geometriskt beskriva, ekvationer för räta linjer och plan i rummet
- tillämpa skalär- och vektorprodukterna för beräkning av vinklar, längder/avstånd, areor och volymer i geometriska tillämpningar och kan illustreras av vektorer
- redogöra för och geometriskt illustrera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal, kunna utföra aritmetiska operationer med komplexa tal, kunna göra omskrivningar mellan rektangulär form och polär form, kunna lösa binomiska ekvationer och komplexa andragradsekvationer, samt kunna tillämpa faktorsatsen för en fullständig faktorisering av polynom med reella koefficienter
- tillämpa och redogöra för de matrisalgebraiska räkneoperationerna och räknelagarna, kunna avgöra inverterbarhet hos en kvadratisk matris, kunna bestämma inverser och kunna lösa affina matrisekvationer
- tolka matriser som linjära avbildningar från Rn till Rm, kunna bestämma nollrum och värderum till linjära avbildningar, kunna definiera rotationer, speglingar och ortogonala projektioner i planet och i rummet, samt kunna bestämma sådana avbildningars matriser
- tillämpa och redogöra för determinantens definition och tolkning som volymen av en parallellepiped i ett n-dimensionellt rum, samt kunna tillämpa räknelagarna för determinanter och då speciellt produktregeln och utveckling efter rad eller kolonn
- redogöra för och tillämpa det som för kvadratiska matriser benämns huvudsatsen, och som i olika ekvivalenta ordalag uttrycker att determinanten för en kvadratisk matris är skild från noll om och endast om inversen till matrisen existerar
- geometriskt tolka och tillämpa begreppen egenvärde och egenvektor, kunna bestämma egenvärden och egenvektorer till linjära operatorer, kunna lösa elementära egenvärdesproblem, samt kunna avgöra om en vektor är en egenvektor till en linjär operator och kunna använda detta för att i tillämpliga fall göra ett basbyte som diagonaliserar en linjär operator

Innehåll

- Linjära ekvationssystem: Gausselimination, radekvivalens, trappstegsmatris, rang
- Geometri i planet och i rummet: riktade sträckor, vektorer, baser, koordinater, koordinatsystem, linjer och plan
- Geometri i Rn: vektorer, linjärt beroende/oberoende, linjära avbildningar, nollrum, värderum, tolkning av matriser som linjära avbildningar, matriser för rotation, spegling och ortogonal projektion i R2 och R3
- Skalärprodukt: ortogonal projektion, O-bas, ON-bas, geometriska tillämpningar som bestämning av spegelpunkter, avstånd och vinklar
- Vektorprodukt: HON-bas, geometriska tillämpningar
- Komplexa tal: aritmetiska operationer, rektangulär form, polär form, binomiska ekvationer, komplexa andragradsekvationer, faktorsatsen
- Matriser: typer av matriser, räkneoperationer, räknelagar, inverser, affina matrisekvationer, koefficientmatriser, avbildningsmatriser, ortogonala matriser
- Determinanter: produktregeln, determinanter av transponat och inverser, räknelagar för determinanter, utveckling efter rad eller - kolonn. Egenvärdesproblem: egenvärde, egenvektor, karakteristiskt polynom, diagonalisering
 

Undervisning

Undervisning sker i form av föreläsningar och/eller lektioner.

Behörighet

Matematik D (områdesbehörighet 9 med förändring) eller Matematik 4 (områdesbehörighet A9 med förändring).

Examination

Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN1), 3,5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN2), 4,0 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5
 

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Med beröm godkänd, icke utan beröm godkänd, godkänd, underkänd