Kursplan - Envariabelkalkyl

Syfte

Syftet med kursen är att ge grundläggande kunskaper om reellvärda funktioner av en reell variabel och tillämpningar därav, samt att ge en grund för fortsatta studier i matematik och i dess tillämpningar inom naturvetenskap, teknik och ekonomi.
 

Lärandemål

Efter genomgången kurs förväntas en student kunna

- analysera reellvärda funktioner av en reell variabel utifrån begreppen definitionsmängd, värdemängd, graf, sammansättning och invers
- avgöra konvergens hos talföljder och serier, samt utifrån standardgränsvärden och räkneregler kunna bestämma gränsvärden för funktioner och talföljder. Speciellt ska en funktions kontinuitet kunna avgöras
- bestämma en funktions derivata utifrån derivatans definition, samt i en given punkt kunna bestämma tangenten till en graf. För deriverbara funktioner läggs särskilt vikt vid en deriveringsteknik baserad på räkneregler och standardderivator, där räknereglerna förväntas kunna visas
- visa medelvärdessatsen, samt kunna tillämpa den och innehållet i punkterna 1–3 på problem som innefattar skattningar och feluppskattningar av funktionsvärden, bestämning av extremvärden, optimering, kurvskissning, och relaterade förändringstakter
- identifiera gränsvärden av Riemannsummor som integraler, samt kunna bevisa och tillämpa integralkalkylens huvudsats
- tillämpa tekniker som partiell integration, partialbråksuppdelning, och variabelsubstitution, allt för att kunna bestämma primitiva funktioner och integraler
- avgöra konvergens hos generaliserade integraler och kunna bestämma de som är konvergenta
- tillämpa integralbegreppet för beräkning av areor mellan kurvor, båglängder, areor av rotationsytor, och volymer med kända snittareor
- lösa första ordningens separabla och/eller linjära, ordinära differentialekvationer (ODE), samt andra ordningens linjära ODE med konstanta koefficienter
- tillämpa Taylors formel för att approximera funktioner, avgöra typer av stationära punkter, och bestämma gränsvärden

Innehåll

- Funktioner: definitionsmängd, värdemängd, graf, sammansättning, inverterbarhet, standardfunktion, elementär funktion
- Talföljder och serier: talföljd, serie, geometrisk serie, integralkriteriet och jämförelsekriterier för positiva serier, kvot- och rotkriterierna, absolut konvergens och betingad konvergens, Leibniz’ konvergenskriterium, konvergensradie hos potenserie
- Gränsvärden: definition av gränsvärde, räkneregler, standardgränsvärden, kontinuitet
- Derivator: definition, standardderivata, räkneregler, implicit derivering, relaterade förändringstakter
- Medelvärdessatsen: skattning av funktionsvärde, feluppskattning, extremvärde, optimering, kurvskissning
- Integraler: Riemannsummor, definitionen av Riemannintegralen, integralkalkylens medelvärdessats, primitiv funktion, integralkalkylens huvudsats, generaliserad integral
- Integrationsteknik: räkneregler, partiell integration, partialbråksuppdelning, variabelsubstitution, invers variabelsubstitution (exempelvis trigonometrisk)
- Tillämpningar av integralbegreppet: area mellan kurvor, båglängd, area av rotationsyta, volym av kropp med känd snittarea
-Ordinära differentialekvationer: separabla differentialekvationer, homogena och icke-homogena linjära differentialekvationer av första ordningen, andra ordningens linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter
- Taylors formel: Taylors formel, Taylorpolynom, Lagranges restterm, lilla och stora ordo, Maclaurinutvecklingar för standardfunktioner, konvergensintervall
- Tillämpningar av Taylors formel: approximation av funktioner, klassificering av stationära punkter, bestämning av gränsvärden, l’Hospitals regel
 

Undervisning

Undervisning sker i form av föreläsningar och/eller lektioner.
 

Särskild behörighet

Matematik 4 eller  Matematik grundkurs

Examination

Inlämningsuppgifter (INL1), 1,5 högskolepoäng, betyg Godkänd (G)
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN1), 2,5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5
Skriftlig och/eller muntlig tentamen (TEN2), 3,5 högskolepoäng, betyg 3, 4 eller 5
 

En student som har ett intyg från MDU avseende sin funktionsnedsättning har möjlighet att anmäla önskemål om anpassning vid salstentamina eller annan examinationsform i enlighet med Regler och anvisningar för examination på grundnivå och avancerad nivå vid Mälardalens högskola (2020/1655). Det är examinator som, utifrån det intyg som utfärdats, beslutar om eventuell anpassning och i så fall vilken anpassning som ska gälla.

Misstankar om vilseledande vid examination (fusk) anmäls, enligt högskoleförordningen, till universitetets rektor och prövas av universitetets disciplinnämnd. Om disciplinnämnden anser att en student gjort sig skyldig till en disciplinförseelse fattar nämnden beslut om en disciplinär åtgärd, vilket är varning eller avstängning.

Betyg

Med beröm godkänd, icke utan beröm godkänd, godkänd, underkänd