Jakt på spår av analyticitet med tillämpningar i operatorteori

I början av 1800-talet fick fransmannen Joseph Fourier den genialiska, men på den tiden väldigt kontroversiella, idén att varje matematisk funktion bör kunna konstrueras som en oändlig summa av sinusvågor. Hans franska kollegor var skeptiska, men med tiden visade det sig att Fouriers intuition var korrekt. Teorin som behandlar fenomenet kallas idag Fourieranalys, och summan av sinusvågor som rekonstruerar funktionen kallas för funktionens Fourierserie, alternativt Fouriertransform.

Fourieranalysen är en slående framgångsrik teori som fortsätter förvåna med dess vidsträckta tillämpningar inom matematik, naturvetenskap och ingenjörskonst. Inom signalbehandling är man ofta intresserad av att filtrera en signal, exempelvis med syfte att ta bort onödigt brus, och en sådan operation kan implementeras matematiskt genom att slänga bort högfrekventa sinusvågor från funktionens Fourierserie. Inom kvantfysik används Fourieranalys för att matematiskt formalisera Heisenbergs välkända osäkerhetsrelationer, som postulerar universiella begräsningar på noggranhet av vissa typer av fysikaliska mätningar. På sista tiden spelade nya Fourieranalytiska rekostruktionsformler en central roll i lösningen av sfärpackningsproblemet, som har som mål att hitta optimala sätt att packa flerdimensionella sfäriska partiklar.

Projektmål

Målet med forskningen är att vidareutveckla Fourieranalysen. Mina frågor faller under temat osäkerhetsprincipen inom Fourieranalys, namnet inspirerat av Heisenbergs osäkerhetsrelation. Jag är intresserad av att bestämma strukturen på funktionens Fouriertransform som är en konsekvens av vissa lokala krav på avtagande av funktionens värden. Speciellt vill jag hitta, i förekommande fall, gränsen för hur utspridda frekvenserna kan vara. Frågorna inspireras av olösta problem inom flera andra matematiska områden, exempelvis operatorteori, men projektets resultat ska producera centrala Fourieranalytiska verktyg som kan tillämpas mer generellt.